数学竞赛学习方法漫谈 何天成

今年七月，我有幸作为中国国家队的一员参加了第58届国际中学生数学奥林匹克竞赛(IMO),并获得了一枚金牌.回顾六年竞赛之路，我从开始的一个懵懂无知的新人，- ~路上经历了不少挫折,走了不少弯路，在跌跌撞撞中算是摸索出了自己的一套学习竞赛的方法，最后的结局也是幸运的.而正是这份幸运,让我觉得有责任把自己学习数学竞赛的经验与心得分享出来，希望后来者能吸取我的经验和教训，找到自己的不足，并更好地看清未来.  I. 引言  对于一场考试，我喜欢用以下3个参数来衡量最终的分数:  最终分数=实力分x运气分x状态分.其中实力,运气，状态均为非负实数.  这里，实力顾名思义.尽管不好量化，但是一~般来说实力相差很大还是能看出来的.  运气主要代表“题目是否对路”，比如一个擅长几何的选手参加一场几何送分的考试，当然运气分较低;而参加一场几何难度他刚刚好能做出来的考试，运气分就比较高了.当然，运气分是取决于考试本身的，可以认为主观上不能改变它，但是在集训队这样的多次考试中,平均下来，运气会比较稳定;并且,我们可以用比如“补短板”或者“狂刷一科”等方法改变运气分的波动大小.另一方面的运气来自于改卷，即能不能得到预想中的分数.这一点理论上来说也是不能自己操纵的,但是可以通过加强书写等方法提升.  状态源于自身.常见的影响状态的因素有比如考前一晚睡不着，考试很冷手冻僵了，旁边的同学一直发出噪音等等.当然，也可能会有状态莫名超好的情  兄，但是我们不能控制自己超常发挥，只能期望尽量发挥正常.  总结下来,我们当然要“提升实力”,但同时也要注意一些很容易被忽略的地方 提升运气和状态.这看似很难处理，但实际上还是有迹可循的.  运气方面，一是之前说的“补短板”与“狂刷一科”，  补短板是实力进阶的必经之路.我一直认为，一名真正优秀的的选手并不一定要做出很多人都做不出的超难题，但是一-定要做出有足够多人能做出的题.这就需要了解不同的方法，覆盖更多知识面，做真题.  “狂刷一~科”是实力不够的情况下的赌博- .比如就想联赛做出俩题混一-等奖，然后狂刷代数与几何之类的.我对这种方法不予评价，但反正我自己的经历是，凡是赌博的情况都必输，实力不到说啥都没用，不如按部就班的来.读者可以自己考虑实力不够的时候的做法.  第二点大概就是关于过程的书写.事实上，很多人对自己的过程非常有自信.如果你批改过其他人的过程，总会觉得“这啥意思啊?搞了半天都不知道想千啥”或者“这里一句话带过根本就不显然嘛”.一般来说，过程写不好有两种:如果你讲都讲不清楚，那么可能是语文学的不好,请回炉再造;如果跟别人讲思路的时候别人可以理解,但是过程写不好的话，可能是没有掌握好写过程的技巧.写过程的主要目的有两个:一是要准确，不能让老师误解你的意思;二是要通俗易懂,节省老师的时间，让老师能够比较容易get到你的过程的脉络.  所以针对第一点，要学会过程的“数学化”表达:比如很多组合问题，直接表达就像写小说，如果可以换成集合或者图论的语言,又或者把它代数化表示，就简单很多了;另外，过程里的因果关系要清晰，至少要表达出“由什么推出什么”.这就需要多使用连词:因为(由于、注意到) 所以、若 则 所以 从而、我们断言(证明) 事实上，以及右箭头“ ”.就算连词使用不多样，至少要达到的要求是:老师知道你的每一个结论是由那些结论推出的.  而第二点其实容易被忽视.我经常看到有些过程一路往下推，密密麻麻一大堆，又不知道他想干什么;语言又完全用的是集合的方法,全都是定义和运算，让人摸不着头脑.这时候，一旦出现一一些笔误，很有可能老师就“如释重负”地圈起来给0分了.这就像写一篇议论文,要是你一直举例子不立论,当然不会给高分.这就需要把证明的脉络清晰地刻画出来，常见的连词有:证明分为如下几步、下面证明一个引理(结论)、我们断言(证明)以下结论、我们只需证明如下结论即可证明此题.这样的好处是，如果你断言的关键步骤恰好是答案中的步骤，或者老师知道是对的，那么老师就大致知道你做出来，只需验证一下细节 即可;就算你的证明出现了一些漏洞，老师也能知道你做出了什么，会更容易得到步骤分.  当然，还有一个大大增加可读性的方法:画图.特别是组合题，很多组合题用代数语言表达很繁琐，不易找到重点，也容易出现笔误，那如何让老师知道你想做什么呢?那就是画图.如果要把一个图按照某种策略三染色，就画一个示意图，然后用ABC标顶点，看上去就清楚多了嘛;就算几何题是用复数算的,画个图,让老师不用自己找图，也不是什么难事吧?  最后我谈谈骗分.时间快到了的时候还是做不出题目，想争取一些过程分的情况是常见的.但是我非常非常反对大家东扯西扯,然后说证毕-做不出来就做不出嘛，要承认自己就是在混分,至于能给几分就看你做了什么结论了;但总有一些人不会做就瞎搞一通然后证毕，这样的人多了，就加大了老师判卷子的难度,就会连累一些“好人”.反正我觉得,要是明知道是错的还写证毕，绝对是败人品的行为.  状态方面，我觉得有两点:一是平时加强模拟考试 模拟考试绝对不仅仅指的是做--套题那么简单!我觉得模拟考试要起到效果，必须完完全全地模拟真实的情况 特别是4.5小时的考试，很多人只是开始两个小时上三板斧，然后消极怠工，这其实一点效果都没有.真实考试有4.5小时呢，要是平时这么模拟，真实考试的最后2个小时难道你就能继续保持极高的做题状态吗?二是，平时做题最好“认真对待”，两天的考试可以带着一些心理负担，这样真正考CMO这样的考试万一面对第- -天考试失利，就不会心理太崩盘.  II. 各级竞赛  联赛  全国高中数学联赛是高中竞赛的第-步,但其实也是不确定性最大的一步.不同的省份有不同的联赛的备考攻略.如果你来自- -些超级联赛强省，比如上海、浙江等，那么你的一试水平一定要过硬，因为正常的年份很可能会出现很多人二试并列拼一试的情况;但如果是中等的省份,就拿广东举例吧，在大部分年份二试3题 一试90分可以进省队,并且二试2题的话几乎进不了省队，所以其实只需要做“适当”的一试练习,然后把重点放在二试上  注意，这里的“:c题”指的是最终得分.不同的省改卷严格程度不一,但是一般来说，被判错是少数,并且很有可能是自己的问题(有些人经常写伪证自己看不出来，或者写过程水平太差确实没法看，却自我感觉良好).所以在备考的过